Le jeudi 6 octobre 2022,  Arman MOLLA présentera l'examen en vue de l’obtention du grade académique de Docteur en Sciences (Collège de doctorat en Mathématique) sous la direction de Samuel NICOLAY.

Cette épreuve consistera en la défense publique d’une dissertation intitulée :

« Generalized polynomials and first steps towards multifractal analysis on Lie groups ».

Résumé

" La première partie de la thèse porte sur l'étude de l'équation fonctionnelle de Fréchet généralisée à des groupes de Lie arbitraires. Les équations ainsi obtenues caractérisent entièrement les fonctions polynomiales lorsque l'on se restreint aux espaces vectoriels de dimension finie. Nous décrirons explicitement les solutions régulières lorsqu'elles existent, ce sont les polynômes généralisés. La régularité des solutions est également abordée lorsque des hypothèses très faibles seront imposées à celles-ci. Nous verrons qu'il suffit de très peu de conditions pour assurer une grande régularité des solutions. Nous examinerons quelques cas particuliers afin d'approfondir l'étude. Le cas des groupes de Lie nilpotents se révèlera intéressant car les solutions sont assez proches de celles de l'espace euclidien.

L'équation de Fréchet montre que l'annulation de la différence finie d'une fonction implique une très grande régularité de la solution sous des hypothèses très faibles sur celle-ci. Dans la seconde partie, nous sommes naturellement amenés à examiner le cas où la différence finie d'une fonction vérifie une condition de type Lipschitz. En général, cette condition est utilisée pour définir les espaces de Hölder. Nous partons de cette condition pour définir les espaces de Hölder ponctuels dans le cadre des groupes de Lie. Diverses caractérisations de ces espaces peuvent être obtenues et certaines propriétés connues dans le cas de l'espace euclidien usuel sont adaptées dans ce nouveau contexte. Les analogues local et global de ces espaces sont définis et jouissent de propriétés similaires au cas ponctuel. Grâce à cette nouvelle définition, nous verrons qu'on peut obtenir quelques résultats quant à l'estimation des coefficients en ondelettes dans le cas des groupes de Lie admettant des dilatations, où la notion d'ondelettes peut être correctement définie. Nous examinerons également une notion assez proche de la transformée en ondelettes continues dans le cas où le groupe est compact. Bien entendu, quelques exemples de fonctions irrégulières seront traités."

Le Jury sera composé de :

M. P. MATHONET (Président), MM. P. BIELIAVSKY (UCLouvain), S. NICOLAY (Promoteur), J.P. SCHNEIDERS, S. SEURET (Université de Créteil), N. ZENAIDI (Secrétaire).